Elliott-Grundkurs, Teil 9: Fibonacci-Zahlen

-ELLI- , Samstag, 03.03.2012, 14:42 (vor 4229 Tagen)

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Heute wird es für einige vielleicht ein bisschen langweilig, es geht um Zahlen, allerdings um ganz besondere Zahlen, nämlich die Fibonacci-Zahlen. Mit diesem Phänomen haben sich schon Generationen von Mathematikern beschäftigt, es ist ein schier unendliches Feld.

Ich will es aber hier nur sehr kurz halten; man sollte schon wissen, wie die Fibonacci-Zahlen definiert sind und dass die aus ihnen abgeleiteten Verhältnisse etwas Besonderes sind, an erster Stelle bekannt als der so genannte Goldene Schnitt.

Die Bildung der Fibonacci-Zahlenfolge ist ganz einfach: man beginnt mit den Zahlen 1 und 1, und dann ergibt sich jede weitere Zahl der Folge als Summe der beiden vorhergehenden Zahlen.

Bild 55:

Beispiele:
8 + 13 = 21 oder 34 + 55 = 89 usw.

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Wenn man eine beliebige Zahl dieser Folge durch die vorhergehende dividiert...

Bild 56:

... dann erhält man (je größer die Zahlen, desto genauer) das berühmte Fibonacci-Verhältnis von 0,618, bekannt als der Goldene Schnitt. Dieses Verhältnis wird intuitiv als harmonisch empfunden und findet sich außerdem auch in der Natur.

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Dieses Verhältnis, genannt phi, ergibt sich mathematisch exakt aus dieser Formel:

Bild 57:

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Falls jemand diese Zahl herleiten möchte, bitteschön:

Bild 58:

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Und so lässt sich diese Zahl Phi (das ist der reziproke Wert von phi) definieren - und das geht mit keiner anderen Zahl:

Bild 59:

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Hier ein paar äußerst interessante mathematische Spielereien, die auch mit keiner anderen Zahl möglich sind:

Bild 60:

Folgende Verhältnisse, die sich aus den Fibonacci-Zahlen ergeben, sind für uns interessant:
0,618
0,618 x 0,618 = 0,382
0,618 x 0,618 x 0,618 = 0,236
aber auch 0,786 (Wurzel aus 0,618)

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So kommt man auch zu 0,618:

Bild 61:

Ich sagte ja, heute wird es langweilig...
Aber ganz ohne Fibonacci geht es bei Elliott nicht.

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Morgen Teil 10: Der Goldene Schnitt / Die Goldene Spirale